Hi,
ich versuche mal meine Lösung für die Aufgabe 2 zu skizzieren:
Ich kann leider nicht texen, aber ich hoffe man versteht es auch so...
Zunächst mal die RBs:
für r = R muss das Potential konstant sein, da die Kugel leitet (metallisch).
für r -> unendlich kann das Potential der Kugel vernachlässigt werden, so dass nur noch das äußere E-Feld zu betrachten ist. Hier gilt also phi = - E * r * cos(v)
Da sich keine Ladungen im Inneren der Kugel befinden, ist das Potential überall konstant genauso wie auf dem Rand.
Zum Aufgabenteil b:
Hier muss man die Lagrangegleichung in Kugelkoordinaten lösen, also:
Laplace phi = 0, da keine Ladungen im Außenraum vorhanden sind.
Der Lagrangeoperator ist gegeben gewesen, und wenn man die Ableitungen ausführt, erhält man einen Term der Form:
cos(v) * [f ''(r) + 2/r * f '(r) - 2/r² * f(r)] + 2/r * g '(r) + g ''(r) = 0
Die DGLs für f und g kann man unabhängig = 0 setzen, da auch die beiden Funktionen unabhängig von einander sind. Die DGL für f ist eine skaleninvariante, d.h. man benutzt den Polynomansatz. Die DGL für g ist einfach separabel.
Zur konkreten Lösung des Potentials müssen jetzt nur noch die beim integrieren entstehenden Konstanten durch die RBs bestimmt werden.
Für die Oberflächenladung muss die Normalenableitung des Potentials an der Stelle r = R gebildet werden (also einfach nach r ableiten) und dann = -sigma gesetzt werden.
Die Gesamtladung berechnet sich durch das Oberflächenintegral der Kugel über die Ladungsdichte, die man gerade eben ausgerechnet hat. Hierbei darf man den Raumverzerrungsfaktor r² * sin(v) nicht vergessen. Das Dipolmoment bestimmt man im Prinzip genauso, nur dass für die entsprechenden Komponenten noch die allgemeine Form der Komponente im Integral stehen muss. Beispiel: Wenn man die x Komponente des Dipolmoments bestimmen möchte, muss im Integral die Ladungsdichte, der Raumverzerrungsfaktor und x in Kugelkoordnaten stehen (also r * sin(v) * cos(phi)).
Ich hoffe das war einigermaßen verständlich.
Gruß Bunti
